Problema — Acqua e olio a temperature diverse

Testo

Un recipiente contiene $2\;\mathrm{kg}$ di acqua a $T_1 = 293\;\mathrm{K}$ ($c_{s,1} = 4180\;\mathrm{J/(kg\,K)}$). Un secondo recipiente contiene $1\;\mathrm{kg}$ di olio a $T_2 = 423\;\mathrm{K}$ ($c_{s,2} = 2090\;\mathrm{J/(kg\,K)}$). Mettendo in comunicazione termica i due recipienti (sistema isolato), trova la temperatura finale di equilibrio.

Soluzione

Impostazione. Il sistema è isolato: l’energia termica ceduta dall’olio (più caldo) è assorbita dall’acqua (più fredda). All’equilibrio entrambi raggiungono la stessa temperatura $T_f$. Il bilancio calorimetrico impone che la somma delle variazioni di energia termica sia nulla:

$m_1 c_{s,1}\,(T_f - T_1) + m_2 c_{s,2}\,(T_f - T_2) = 0$

Risoluzione simbolica per $T_f$:

$T_f = \frac{m_1 c_{s,1} T_1 + m_2 c_{s,2} T_2}{m_1 c_{s,1} + m_2 c_{s,2}}$

Capacità termiche dei due corpi:

$m_1 c_{s,1} = 2\cdot 4180 = 8360\;\mathrm{J/K}, \qquad m_2 c_{s,2} = 1\cdot 2090 = 2090\;\mathrm{J/K}$

Sostituzione numerica:

$T_f = \frac{8360\cdot 293 + 2090\cdot 423}{8360 + 2090} = \frac{2\,449\,480 + 884\,070}{10\,450} = \frac{3\,333\,550}{10\,450}$

$\ev{T_f \approx 319\;\mathrm{K} \approx 46\;^\circ\mathrm{C}}$

La temperatura di equilibrio è molto più vicina a quella dell’acqua che a quella dell’olio: l’acqua ha una capacità termica quattro volte maggiore (massa doppia e calore specifico doppio), quindi “tira” l’equilibrio verso di sé.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Calore specifico e capacità termica · Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Equazione calorimetrica · Impostazione simbolica