Problema — Fantafisica gravità doppia

Fantafisica: gravità doppia. Se $g$ raddoppiasse, come cambierebbero l'energia potenziale, la velocità di caduta e l'altezza massima di un salto? Discuti.

Soluzione

Analizzo le tre grandezze in funzione di $g$, tenendo fissi massa $m$, quota $h$ e velocità iniziale di salto $v_0$.

Energia potenziale. $E_p = mgh$ è lineare in $g$: se $g \to 2g$,

$E_p' = m(2g)h = 2\,mgh = 2\,E_p \quad\Rightarrow\quad \text{raddoppia}$

Velocità di caduta. Da $mgh = \tfrac12 mv^2$ segue $v_\text{caduta} = \sqrt{2gh}$, che va come $\sqrt{g}$:

$v' = \sqrt{2(2g)h} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2gh} = \sqrt{2}\;v_\text{caduta} \quad\Rightarrow\quad \times\sqrt{2} \approx \times 1{,}41$

Altezza massima di un salto. Data la spinta iniziale $v_0$, il corpo sale finché $\tfrac12 mv_0^2 = mg\,h_\text{max}$, cioè $h_\text{max} = v_0^2/(2g)$, che va come $1/g$:

$h_\text{max}' = \frac{v_0^2}{2(2g)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{v_0^2}{2g} = \tfrac12\,h_\text{max} \quad\Rightarrow\quad \text{si dimezza}$

$\ev{E_p:\ \times 2; \qquad v_\text{caduta}:\ \times\sqrt{2}; \qquad h_\text{max}:\ \times\tfrac12}$

Lettura fisica. Un mondo a gravità doppia sarebbe molto più ostile ai movimenti: si salterebbe la metà in altezza e le cadute sarebbero molto più violente (energia d’impatto $E_p$ doppia, velocità $\times 1{,}41$). La biologia dei movimenti animali — ossa, muscoli, andature — ne uscirebbe stravolta.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica