Problema — Pendolo balistico

Pendolo balistico. Una pallottola di $20\;\mathrm{g}$ a $400\;\mathrm{m/s}$ si conficca in un blocco di $2\;\mathrm{kg}$ appeso a un filo. Combinando conservazione della quantità di moto nell'urto e conservazione dell'energia meccanica dopo, calcola l'altezza a cui sale il blocco.

Soluzione

Dati: pallottola $m = 20\;\mathrm{g} = 0{,}02\;\mathrm{kg}$, $v_0 = 400\;\mathrm{m/s}$; blocco $M = 2\;\mathrm{kg}$.

Il problema ha due fasi che richiedono principi diversi.

Fase 1 — urto anelastico (conservazione della quantità di moto). L’urto è brevissimo: pallottola e blocco restano uniti. L’energia cinetica non si conserva (parte diventa calore e deformazione), ma la quantità di moto sì:

$m v_0 = (m + M)\,v_f \quad\Rightarrow\quad v_f = \frac{m v_0}{m + M} = \frac{0{,}02\cdot 400}{0{,}02 + 2} = \frac{8}{2{,}02} \approx 3{,}96\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v_f \approx 3{,}96\;\mathrm{m/s}}$

Fase 2 — salita (conservazione dell’energia meccanica). Dopo l’urto il blocco+pallottola oscilla verso l’alto: l’energia cinetica appena acquisita diventa potenziale:

$\tfrac{1}{2}(m+M)v_f^2 = (m+M)gh \quad\Rightarrow\quad h = \frac{v_f^2}{2g} = \frac{(3{,}96)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{15{,}7}{19{,}62} \approx 0{,}80\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 0{,}80\;\mathrm{m}}$

Lettura fisica. L’errore classico è applicare la conservazione dell’energia anche all’urto: sbagliato, perché l’urto anelastico dissipa energia cinetica (qui oltre il $99\%$: da $\tfrac12 m v_0^2 = 1600\;\mathrm{J}$ a $\tfrac12(m+M)v_f^2 \approx 15{,}8\;\mathrm{J}$). La quantità di moto invece si conserva nell’urto perché non agiscono forze esterne orizzontali impulsive. Misurando $h$ si risale a $v_0$: è così che funziona il pendolo balistico per misurare la velocità dei proiettili.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Quantità di moto · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Pendolo balistico