Problema — Sintesi piano inclinato e molla

Sintesi: piano inclinato e molla. Un blocco di $1\;\mathrm{kg}$ parte da fermo in cima a un piano inclinato di $30^\circ$ alto $2\;\mathrm{m}$, scivola giù con $\mu_d = 0{,}2$, e in fondo urta una molla con $k = 500\;\mathrm{N/m}$. Calcola la compressione massima.

Soluzione

Dati: $m = 1\;\mathrm{kg}$, $\theta = 30^\circ$, altezza $h = 2\;\mathrm{m}$, $\mu_d = 0{,}2$, $k = 500\;\mathrm{N/m}$.

Lunghezza del piano. Il blocco scende lungo il piano per un tratto

$L = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4\;\mathrm{m}$

Bilancio energetico. L’energia potenziale gravitazionale iniziale in parte è dissipata dall’attrito lungo il piano, in parte finisce nella molla come energia elastica. La forza d’attrito sul piano è $f = \mu_d N = \mu_d\,mg\cos\theta$, e compie lavoro dissipativo $Q = f\,L$:

$mgh = Q + \tfrac{1}{2}k x_\text{max}^2, \qquad Q = \mu_d\,mg\cos\theta\;L$

Calcolo dei termini (uso $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$):

$mgh = 1\cdot 9{,}81\cdot 2 = 19{,}62\;\mathrm{J}$

$Q = 0{,}2\cdot 1\cdot 9{,}81\cdot 0{,}866\cdot 4 = 6{,}80\;\mathrm{J}$

Energia disponibile per la molla:

$\tfrac{1}{2}k x_\text{max}^2 = mgh - Q = 19{,}62 - 6{,}80 = 12{,}82\;\mathrm{J}$

Compressione massima:

$x_\text{max} = \sqrt{\frac{2(mgh - Q)}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot 12{,}82}{500}} = \sqrt{0{,}0513} \approx 0{,}227\;\mathrm{m}$

$\ev{x_\text{max} \approx 0{,}227\;\mathrm{m} \approx 22{,}7\;\mathrm{cm}}$

Lettura fisica. Senza attrito la molla immagazzinerebbe tutti i $19{,}62\;\mathrm{J}$ (compressione maggiore); l’attrito ne sottrae circa $6{,}8\;\mathrm{J}$ come calore, riducendo la compressione. Il problema unisce tre serbatoi di energia — gravitazionale, termico (attrito) ed elastico — in un unico bilancio.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale elastica · Energia termica da attrito Competenze: Scomposizione sul piano inclinato Oggetti: Piano inclinato · Molla