Problema — Lettura grafico F(x) di una molla

Lettura grafico: $F(x)$ di una molla. Il grafico mostra la forza esercitata da una molla in funzione dell'allungamento: una retta passante per l'origine, $F = kx$, con $k = 100\;\mathrm{N/m}$. Calcola l'energia elastica accumulata per $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ come area sotto la curva, e verifica con la formula $U = \tfrac{1}{2}kx^2$.

Soluzione

Dati: $k = 100\;\mathrm{N/m}$, $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$. La forza elastica segue la legge di Hooke $F = kx$: nel grafico è una retta per l’origine.

Metodo 1 — area sotto la curva. Il lavoro fatto sulla molla (energia accumulata) è l’area fra la retta $F(x)$ e l’asse $x$, cioè un triangolo. La forza massima raggiunta a $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ vale

$F_\text{max} = kx = 100\cdot 0{,}10 = 10\;\mathrm{N}$

L’area del triangolo (base $= x$, altezza $= F_\text{max}$):

$U = \tfrac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altezza} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}10\cdot 10 = 0{,}5\;\mathrm{J}$

Metodo 2 — formula. Verifica con $U = \tfrac{1}{2}kx^2$:

$U = \tfrac{1}{2}(100)(0{,}10)^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0{,}01) = 0{,}5\;\mathrm{J}$

I due metodi coincidono:

$\ev{U = \tfrac{1}{2}kx^2 = 0{,}5\;\mathrm{J}}$

Lettura fisica. La formula $U = \tfrac12 kx^2$ è l’area del triangolo sotto la retta $F = kx$: geometria e algebra dicono la stessa cosa. Poiché la forza non è costante ma cresce linearmente, non si usa il rettangolo $F_\text{max}\cdot x$ (darebbe il doppio), bensì il triangolo. Il fattore $\tfrac12$ nella formula elastica ha proprio origine geometrica.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla