Problema — Roccia vulcanica nella Fanta

Testo

Un sasso vulcanico ($4\;\mathrm{kg}$, $c_s = 300\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$) a $400\;^\circ\mathrm{C}$ viene immerso in $8$ litri di Fanta ($c_s = 30\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$, densità $1{,}5\;\mathrm{kg/l}$) a $-50\;^\circ\mathrm{C}$. Trova la temperatura di equilibrio. (Attenzione: lavora in kelvin.)

Soluzione

Conversione in kelvin (indispensabile per l’energia termica $E = m\,c_s\,T_K$):

$T_{1} = 400 + 273 = 673\;\mathrm{K} \quad(\text{sasso}), \qquad T_{2} = -50 + 273 = 223\;\mathrm{K} \quad(\text{Fanta})$

Massa della Fanta dal volume e dalla densità:

$m_2 = 8\;\mathrm{l} \cdot 1{,}5\;\mathrm{kg/l} = 12\;\mathrm{kg}$

Bilancio calorimetrico (sistema isolato, energia termica conservata):

$m_1 c_{s,1}\,(T_f - T_1) + m_2 c_{s,2}\,(T_f - T_2) = 0$

$T_f = \frac{m_1 c_{s,1} T_1 + m_2 c_{s,2} T_2}{m_1 c_{s,1} + m_2 c_{s,2}}$

Capacità termiche:

$m_1 c_{s,1} = 4\cdot 300 = 1200\;\mathrm{J/K}, \qquad m_2 c_{s,2} = 12\cdot 30 = 360\;\mathrm{J/K}$

Sostituzione numerica:

$T_f = \frac{1200\cdot 673 + 360\cdot 223}{1200 + 360} = \frac{807\,600 + 80\,280}{1560} = \frac{887\,880}{1560}$

$\ev{T_f \approx 569\;\mathrm{K} \approx 296\;^\circ\mathrm{C}}$

Nonostante gli $8$ litri di Fanta, il sasso vince: la sua capacità termica ($1200\;\mathrm{J/K}$) è più del triplo di quella della Fanta ($360\;\mathrm{J/K}$), perché il calore specifico della roccia è dieci volte maggiore. L’equilibrio resta quindi bollente.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Calore specifico e capacità termica · Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Equazione calorimetrica · Impostazione simbolica