Problema — Rendimento di una pala eolica

Sfida: rendimento di una pala eolica. Una pala eolica ha rotore di raggio $50\;\mathrm{m}$ e produce $1\;\mathrm{MW}$ in un vento di $10\;\mathrm{m/s}$ ($\rho_\text{aria} = 1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}$). Stima il suo rendimento e confrontalo con il limite di Betz ($\eta_\text{max} = 0{,}593$).

Soluzione

Dati: $r = 50\;\mathrm{m}$, $P_\text{out} = 1\;\mathrm{MW} = 10^6\;\mathrm{W}$, $v = 10\;\mathrm{m/s}$, $\rho = 1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}$.

Area spazzata dal rotore:

$A = \pi r^2 = \pi\cdot 50^2 = \pi\cdot 2500 \approx 7854\;\mathrm{m^2}$

Potenza del vento che attraversa il rotore. La massa d’aria che passa al secondo è $\dot m = \rho A v$, e la sua energia cinetica per unità di tempo è $P_\text{vento} = \tfrac{1}{2}\dot m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\rho A v^3$ (dipende dal cubo della velocità):

$P_\text{vento} = \tfrac{1}{2}\rho A v^3 = \tfrac{1}{2}(1{,}2)(7854)(10)^3 = 0{,}6\cdot 7854\cdot 1000 \approx 4{,}7\cdot 10^6\;\mathrm{W}$

$\ev{P_\text{vento} \approx 4{,}7\;\mathrm{MW}}$

Rendimento della pala:

$\eta = \frac{P_\text{out}}{P_\text{vento}} = \frac{1{,}0\cdot 10^6}{4{,}7\cdot 10^6} \approx 0{,}21 = 21\%$

$\ev{\eta \approx 21\%}$

Confronto con il limite di Betz. Nessuna turbina può estrarre più del $59{,}3\%$ dell’energia del vento (altrimenti l’aria si fermerebbe del tutto dietro il rotore, impedendo il flusso). Il rapporto fra rendimento reale e limite teorico:

$\frac{\eta}{\eta_\text{Betz}} = \frac{0{,}21}{0{,}593} \approx 0{,}36 = 36\%$

$\ev{\eta/\eta_\text{Betz} \approx 36\%}$

Lettura fisica. La turbina cattura circa il $21\%$ dell’energia del vento, cioè poco più di un terzo del massimo fisicamente consentito da Betz. Il resto sfugge perché l’aria deve continuare a fluire (non può fermarsi) e per le inevitabili perdite aerodinamiche e meccaniche. La forte dipendenza $P_\text{vento}\propto v^3$ spiega perché i siti ventosi valgono tanto: raddoppiare il vento moltiplica per otto la potenza disponibile.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza · Energia cinetica Competenze: Stime di Fermi