Problema — Palla, molla, attrito e volo (4 stati)

Testo

Una palla ($8\;\mathrm{kg}$) parte da ferma compressa contro una molla (stato A); la molla la lancia lungo un piano inclinato con attrito (stato B); la palla sale e decelera fino a C; poi decolla e prosegue in volo libero fino a D. Imposta, transizione per transizione, la tabella energetica: indica per ciascun passaggio quali colonne servono ($E_\text{cin}$, $E_\text{pot,g}$, $E_\text{pot,m}$, $E_\text{term}$) e perché.

Soluzione

Principio guida. Si applica la conservazione dell’energia stato per stato: i valori finali di una transizione diventano i valori iniziali della successiva. In ogni tabella si tengono solo le colonne che effettivamente cambiano o intervengono in quella transizione; le altre sono nulle o costanti e si possono omettere.

Transizione A → B (la molla lancia la palla).

• Colonne necessarie: $E_\text{pot,m}$, $E_\text{cin}$, $E_\text{pot,g}$.
• In A la palla è ferma ($E_\text{cin} = 0$) e la molla è compressa: tutta l’energia è $E_\text{pot,m}$. Rilasciando, la molla si scarica ($E_\text{pot,m} \to 0$) e l’energia diventa cinetica; se la palla comincia già a salire lungo la rampa compare anche $E_\text{pot,g}$.
• Questa transizione introduce la colonna $E_\text{pot,m}$ (energia elastica), che nelle successive non serve più (la palla ha lasciato la molla).

$E_\text{pot,m}^A = E_\text{cin}^B + E_\text{pot,g}^B$

Transizione B → C (salita sulla rampa con attrito).

• Colonne necessarie: $E_\text{cin}$, $E_\text{pot,g}$, $E_\text{term}$.
• La palla sale e decelera: $E_\text{cin}$ si converte in $E_\text{pot,g}$ (aumento di quota) e in parte è dissipata dall’attrito.
• Questa transizione aggiunge la colonna $E_\text{term}$: l’attrito compie lavoro negativo e trasferisce energia in calore, $E_\text{term} = F_a\cdot\Delta s$. La molla non è più in gioco, quindi $E_\text{pot,m}$ sparisce.

$E_\text{cin}^B + E_\text{pot,g}^B = E_\text{cin}^C + E_\text{pot,g}^C + E_\text{term}$

Transizione C → D (decollo e volo libero).

• Colonne necessarie: solo $E_\text{cin}$ e $E_\text{pot,g}$.
• In volo non c’è più contatto con la rampa: niente attrito (nessuna nuova $E_\text{term}$) e niente molla. L’energia meccanica si conserva puramente: la palla scambia $E_\text{cin}$ e $E_\text{pot,g}$ lungo la parabola di volo.

$E_\text{cin}^C + E_\text{pot,g}^C = E_\text{cin}^D + E_\text{pot,g}^D$

Sintesi — quali colonne per ogni transizione:

Transizione	$E_\text{cin}$	$E_\text{pot,g}$	$E_\text{pot,m}$	$E_\text{term}$
A → B (molla)	✓	✓	✓ (introdotta)	—
B → C (attrito)	✓	✓	—	✓ (aggiunta)
C → D (volo)	✓	✓	—	—

$\ev{\text{A}\!\to\!\text{B: introduce } E_\text{pot,m};\ \ \text{B}\!\to\!\text{C: aggiunge } E_\text{term};\ \ \text{C}\!\to\!\text{D: solo } E_\text{cin}+E_\text{pot,g}}$

Il cuore del problema è la disciplina contabile: ogni colonna appare solo quando la relativa interazione è attiva, e l’energia dissipata in $E_\text{term}$ non torna più indietro (trasformazione irreversibile).

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Uso della tabella energetica · Bilancio energetico a bolle Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Molla · Piano inclinato