Problema — Salto con l'elastico

Testo

Una persona ($80\;\mathrm{kg}$) si lancia da una piattaforma posta a $100\;\mathrm{m}$ di altezza con un elastico ($K = 16\;\mathrm{N/m}$, $\ell_0 = 0$). A che profondità si trova al punto più basso del salto? Imposta il bilancio fra energia potenziale gravitazionale ed elastica e usa il vincolo geometrico $h_B + \ell_B = 100\;\mathrm{m}$.

Soluzione

Impostazione. Definiamo due stati:

• Stato A (partenza): la persona è ferma sulla piattaforma, $v = 0$, elastico a riposo ($\ell_0 = 0$, quindi $E_\text{pot,m} = 0$).
• Stato B (punto più basso): la persona è di nuovo ferma ($v = 0$, massima estensione dell’elastico), l’elastico è teso di $\ell_B$ e la persona si trova a quota $h_B$ dal suolo.

Poiché $\ell_0 = 0$, l’elastico comincia a tendersi appena la persona lascia la piattaforma: la sua lunghezza al punto più basso coincide con il tratto di caduta. Il vincolo geometrico lega le due quote:

$h_B + \ell_B = 100\;\mathrm{m}$

Bilancio energetico (nessun attrito, $v = 0$ in A e in B). La caduta gravitazionale converte tutta la sua energia in energia elastica dell’elastico. Prendendo il suolo come riferimento:

$mg\cdot(100) = mg\cdot h_B + \tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2$

Poiché $100 - h_B = \ell_B$, il termine gravitazionale netto è $mg\,\ell_B$:

$mg\,\ell_B = \tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2$

Equazione di secondo grado in $\ell_B$:

$\tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2 - mg\,\ell_B = 0 \quad\Rightarrow\quad \ell_B\left(\tfrac{1}{2}K\,\ell_B - mg\right) = 0$

La soluzione $\ell_B = 0$ è quella di partenza; quella fisica è:

$\ell_B = \frac{2mg}{K} = \frac{2\cdot 80\cdot 9{,}81}{16} = \frac{1569{,}6}{16} \approx 98{,}1\;\mathrm{m}$

Risultato. L’elastico si tende di circa $98{,}1\;\mathrm{m}$: il punto più basso è quindi a

$\ev{\ell_B \approx 98{,}1\;\mathrm{m}\ \text{sotto la piattaforma}, \qquad h_B = 100 - 98{,}1 \approx 1{,}9\;\mathrm{m}\ \text{dal suolo}}$

La persona si ferma appena $1{,}9\;\mathrm{m}$ sopra il terreno: un salto ben tarato. Si noti che nel punto più basso la velocità è nulla ma l’accelerazione no — la forza elastica ($K\ell_B \approx 1570\;\mathrm{N}$) supera il peso ($mg \approx 785\;\mathrm{N}$), quindi la persona viene richiamata verso l’alto.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Conservazione dell’energia meccanica · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Conservazione dell’energia · Impostazione simbolica Oggetti: Molla