Esercizio svolto — collisione tramite molla

Testo

Palla 1 ($3\;\text{kg}$, $v = 6\;\text{m/s}$) si avvicina a palla 2 ($5\;\text{kg}$, $v = -2\;\text{m/s}$). Tra di loro c’è una molla ($K = 200\;\text{N/m}$, $\ell_0 = 5\;\text{m}$, $\ell_A = \ell_0$). Trovare la massima compressione della molla.

Soluzione

Velocità del centro di massa (si conserva per tutto il processo): $v_\text{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{3\cdot 6 + 5\cdot(-2)}{8} = \frac{18 - 10}{8} = 1\;\text{m/s}$

Stato B (massima compressione). In quell’istante i due corpi si muovono alla stessa velocità $v_\text{CM}$: l’energia cinetica interna (del moto relativo) è nulla e si è tutta trasferita nella molla.

Tabella di energia (da A a B; $E$ in $\text{J}$):

	$E_\text{cin,CM}$	$E_\text{cin,int}$	$E_\text{pot,m}$	$E_\text{tot}$
A	$\tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 1^2 = 4$	$\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 3^2 = 60$	$0$	$64$
B	$4$	$0$	$100(\ell_B - 5)^2$	$64$

(in A le velocità relative al CM sono $6-1 = 5$ e $-2-1 = -3$, da cui $E_\text{cin,int} = 37{,}5 + 22{,}5 = 60\;\text{J}$; l’energia della molla è $\tfrac{1}{2}K x^2 = 100\,x^2$ con $x = \lvert\ell_B - 5\rvert$).

Compressione massima: $100(\ell_B - 5)^2 = 60 \;\Rightarrow\; \lvert\ell_B - 5\rvert = \sqrt{0{,}6} = 0{,}77\;\text{m}$ $\ev{5 - \ell_B \approx 0{,}77\;\mathrm{m}}$

Da A a C (la molla torna a $\ell_0$ e restituisce tutta l’energia): il processo complessivo è un urto elastico, quindi vale il trucco $v_{1A} + v_{1C} = v_{2A} + v_{2C}$, con cui — insieme alla conservazione di $\vv{p}$ — si ricavano le velocità finali di separazione $v_{1C}$ e $v_{2C}$.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Energia potenziale elastica · Centro di massa Competenze: Metodo delle due tabelle Oggetti: Molla