Problema — Saltare dalla finestra

Testo

Una persona di $75\;\text{kg}$ si lancia da $h = 5\;\text{m}$. Trattando il sistema persona più Terra come un‘“esplosione” (l’energia potenziale gravitazionale si trasforma in cinetica), stima la velocità di rinculo della Terra e commenta perché non la percepiamo. Massa della Terra $M_\oplus \approx 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$.

Soluzione

Velocità della persona a fine caduta (conservazione dell’energia, si trascura il minuscolo contributo cinetico della Terra): $\tfrac{1}{2}m v_1^2 = m g h \quad\Rightarrow\quad v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 5} \approx 9{,}9\;\text{m/s}$

Conservazione di $\vv{p}$ (sistema persona + Terra inizialmente fermo, come un’esplosione a due frammenti): $0 = m v_1 + M_\oplus v_\text{Terra} \quad\Rightarrow\quad v_\text{Terra} = -\frac{m\,v_1}{M_\oplus}$ $v_\text{Terra} = -\frac{75\cdot 9{,}9}{6\cdot 10^{24}} \approx -1{,}2\cdot 10^{-22}\;\text{m/s}$ $\ev{v_1 \approx 9{,}9\;\mathrm{m/s},\qquad v_\text{Terra} \approx 1{,}2\cdot 10^{-22}\;\mathrm{m/s}}$ Commento. La quantità di moto della Terra è uguale e opposta a quella della persona, ma la sua massa è $\sim 10^{23}$ volte più grande: la velocità di rinculo è impercettibile, $\sim 10^{-22}\;\text{m/s}$, molte volte più piccola del diametro di un nucleo atomico al secondo. Per questo la Terra ci sembra un riferimento immobile.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Esplosione · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione della quantità di moto