Razzo a stadi

Testo

Razzo a stadi. Un razzo a due stadi ha massa totale $1\,000\;\text{kg}$. Espelle lo stadio 1 ($600\;\text{kg}$) a velocità relativa $1\;\text{km/s}$. Lo stadio 2 (massa $400\;\text{kg}$) espelle altro carburante ($200\;\text{kg}$) sempre a $1\;\text{km/s}$ relativa. Calcola la velocità finale del carico utile residuo ($200\;\text{kg}$) usando la formula di Tsiolkovsky $\Delta v = v_g \ln(m_0/m_f)$.

Soluzione

La formula di Tsiolkovsky dà l’incremento di velocità di ciascuno stadio: $\Delta v = v_g \ln(m_0/m_f)$, con $v_g = 1\;\text{km/s} = 1\,000\;\text{m/s}$.

Stadio 1: parte da $m_0 = 1\,000\;\text{kg}$; dopo aver espulso $600\;\text{kg}$ resta $m_f = 400\;\text{kg}$. $\Delta v_1 = 1\,000 \cdot \ln\!\left(\frac{1\,000}{400}\right) = 1\,000 \cdot \ln(2{,}5) \approx 916\;\mathrm{m/s}$

Stadio 2: parte da $m_0 = 400\;\text{kg}$; espelle $200\;\text{kg}$ di carburante, resta $m_f = 200\;\text{kg}$ (il payload). $\Delta v_2 = 1\,000 \cdot \ln\!\left(\frac{400}{200}\right) = 1\,000 \cdot \ln(2) \approx 693\;\mathrm{m/s}$

Gli incrementi si sommano perché ogni stadio riparte dalla velocità già acquisita: $v_\text{finale} = \Delta v_1 + \Delta v_2 \approx 916 + 693 = 1\,609\;\mathrm{m/s}$ Risultato: $\ev{v_\text{finale} \approx 1\,609\;\mathrm{m/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto · Conservazione della quantità di moto Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Razzo