Pendolo balistico (velocità)

Testo

Pendolo balistico. Un proiettile di $20\;\text{g}$ a velocità $v$ ignota si conficca in un blocco di legno di $5\;\text{kg}$ sospeso a un filo. Il blocco oscilla salendo di $20\;\text{cm}$. Calcola la velocità iniziale del proiettile combinando conservazione di $\vv{p}$ all’urto e conservazione dell’energia nella salita.

Soluzione

Dati: $m = 20\;\text{g} = 0{,}020\;\text{kg}$, $M = 5\;\text{kg}$, $h = 20\;\text{cm} = 0{,}20\;\text{m}$, $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$.

Il problema ha due fasi da trattare separatamente.

Fase 1 — urto totalmente anelastico (proiettile che si conficca): si conserva la quantità di moto, non l’energia. Sia $V$ la velocità comune di blocco più proiettile subito dopo l’urto. $m v = (m + M)\,V \quad\Rightarrow\quad v = \frac{m+M}{m}\,V$

Fase 2 — salita: dopo l’urto agisce solo la gravità, quindi si conserva l’energia meccanica. Tutta l’energia cinetica diventa potenziale gravitazionale. $\tfrac{1}{2}(m+M)\,V^2 = (m+M)\,g\,h \quad\Rightarrow\quad V = \sqrt{2 g h}$ $V = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}20} = \sqrt{3{,}924} \approx 1{,}98\;\mathrm{m/s}$

Sostituendo $V$ nella relazione della fase 1: $v = \frac{0{,}020 + 5}{0{,}020}\cdot 1{,}98 = 251 \cdot 1{,}98 \approx 497\;\mathrm{m/s}$ Risultato: $\ev{v \approx 497\;\mathrm{m/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Pendolo balistico · Proiettile