Tre corpi in cascata

Testo

Sfida: tre corpi in cascata. Una palla $A$ (massa $m$, velocità $+v$) urta in linea retta una palla $B$ (massa $2m$, ferma) che a sua volta urta una palla $C$ (massa $m$, ferma). Entrambi gli urti sono elastici e avvengono in cascata. Calcola le velocità finali delle tre palle.

Soluzione

Per un urto elastico 1D con bersaglio fermo (massa $m_1$ che colpisce $m_2$ a riposo), conservazione di $\vv{p}$ ed energia cinetica danno: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$

Urto 1 — $A$ ($m$, $+v$) contro $B$ ($2m$, ferma): $m_1 = m$, $m_2 = 2m$. $v_A = \frac{m - 2m}{m + 2m}\,v = -\frac{1}{3}\,v$ $v_B' = \frac{2m}{m + 2m}\,v = \frac{2}{3}\,v$ $A$ rimbalza indietro; $B$ parte in avanti a $\tfrac{2}{3}v$. $A$ non tocca più nulla, quindi $v_A = -v/3$ è definitivo.

Urto 2 — $B$ ($2m$, ora a $\tfrac{2}{3}v$) contro $C$ ($m$, ferma): $m_1 = 2m$, $m_2 = m$, velocità iniziale $\tfrac{2}{3}v$. $v_B = \frac{2m - m}{2m + m}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{2}{9}\,v$ $v_C = \frac{2\cdot 2m}{2m + m}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{4}{3}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{8}{9}\,v$ $B$ prosegue più lento di $C$, quindi non lo raggiunge: gli urti sono finiti. Risultato: $\ev{v_A = -\frac{v}{3},\quad v_B = \frac{2v}{9},\quad v_C = \frac{8v}{9}}$

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto