La legge di conservazione

Il momento angolare $\vec{L}$ è l’analogo rotazionale della quantità di moto $\vec{p}$. Per un corpo che ruota vale $L = I\omega$, e come $\vec{p}$ obbedisce a una legge di conservazione: si conserva quando il sistema non è soggetto a momenti esterni netti.

Conservazione del momento angolare

Se la somma dei momenti delle forze esterne rispetto a un polo $P$ è nulla, allora il momento angolare totale rispetto a $P$ si conserva: $\ev{\sum\vec{M}_\text{ext} = \vec{0} \;\;\Longrightarrow\;\; \vec{L}_\text{tot}^A = \vec{L}_\text{tot}^B}$

L’intuizione è la stessa della quantità di moto: senza una “spinta rotazionale” dall’esterno, la rotazione complessiva del sistema resta invariata. Ma con una differenza spettacolare: mentre nella traslazione $\vec{p} = m\vec{v}$ ha una massa fissa, nel caso rotazionale $L = I\omega$ contiene $I$, che il sistema può cambiare ridistribuendo la propria massa. Se $I$ diminuisce, $\omega$ deve aumentare per mantenere $L$ costante — ed è esattamente ciò che fa il pattinatore che raccoglie le braccia.

Un primo esempio: il disco con la fune

Consideriamo un disco che ruota attorno a un perno mentre una fune si svolge dal suo bordo, trascinando un pacchetto che si allontana progressivamente dal centro. Scegliendo il perno come polo, sia la reazione del perno sia la tensione (radiale) hanno braccio nullo o direzione radiale: non producono momento. Quindi il momento angolare totale si conserva:

$\left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_A^2\right)\omega_A = \left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_B^2\right)\omega_B$

Man mano che il pacchetto si allontana ($r_B > r_A$), il momento d’inerzia del sistema cresce e la velocità angolare $\omega_B$ diminuisce: il sistema rallenta. È lo stesso meccanismo del pattinatore, al contrario.

Analogo rotazionale di $\vec{p}$

Il momento angolare è all’incirca ciò che la quantità di moto è per la traslazione. Si conserva se $\sum M_\text{ext} = 0$, ed è il perno su cui ruotano tutti i problemi di questa sezione.

▶ La ruota antigravità e il momento angolare — Veritasium

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Momento angolare Competenze: Conservazione del momento angolare

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