Problema — Teorema di König per l'energia cinetica

Testo

Dimostra, per un corpo rigido in moto generale, che l’energia cinetica totale si scrive come somma dell’energia cinetica di traslazione del centro di massa e dell’energia cinetica di rotazione attorno al CM. Applicalo a una palla che rotola senza strisciare per ricavare la frazione di energia in forma rotazionale.

Soluzione

Scriviamo la velocità di ciascun pezzo del corpo come somma della velocità del centro di massa più la velocità relativa al CM: $\vec{v}_i = \vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'$. L’energia cinetica totale è $E_\text{cin} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i\left(\vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'\right)\cdot\left(\vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'\right)$ Sviluppando il quadrato si ottengono tre termini: $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}\Big(\sum_i m_i\Big)v_\text{CM}^2 + \vec{v}_\text{CM}\cdot\Big(\sum_i m_i\vec{v}_i'\Big) + \sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2$ Il termine centrale è nullo, perché $\sum_i m_i\vec{v}_i' = \dfrac{d}{dt}\sum_i m_i\vec{r}_i' = 0$ (la quantità di moto rispetto al CM è nulla per definizione). Restano due termini: $\ev{E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}M v_\text{CM}^2 + \tfrac{1}{2}I_\text{CM}\,\omega^2}$ Applicazione alla palla che rotola (sfera piena, $I_\text{CM} = \tfrac{2}{5}mR^2$, vincolo $\omega = v/R$): $E_\text{rot} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}mR^2\cdot\frac{v^2}{R^2} = \tfrac{1}{5}mv^2, \qquad E_\text{tot} = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{5}mv^2 = \tfrac{7}{10}mv^2$ La frazione rotazionale è $\dfrac{E_\text{rot}}{E_\text{tot}} = \dfrac{1/5}{7/10} = \dfrac{2}{7} \approx 29\%$.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Energia cinetica rotazionale · Rotolamento Metodi: Teorema di König