Problema — Ranking di quattro oggetti che rotolano

Testo

Quattro oggetti di massa uguale $m$ rotolano senza strisciare lungo un piano inclinato identico, partendo dalla stessa altezza: (A) sfera piena, $I = \tfrac{2}{5}mR^2$; (B) cilindro pieno, $I = \tfrac{1}{2}mR^2$; (C) anello sottile, $I = mR^2$; (D) sfera piena di raggio diverso, $I = \tfrac{2}{5}mR^2$. Ordina i tempi impiegati per arrivare in fondo, dal più piccolo al più grande. (Suggerimento: $a = g\sin\theta/(1 + I/(mR^2))$ e non dipende da $R$.)

Soluzione

L’accelerazione è $a = \dfrac{g\sin\theta}{1 + I/(mR^2)}$: più grande è $I/(mR^2)$, più piccola è $a$, più lungo è il tempo di discesa. Il raggio non compare, quindi la taglia dell’oggetto è irrilevante.

Fattori $I/(mR^2)$: sfere piene (A e D) $= \tfrac{2}{5}$ → accelerazione massima → tempo minimo; cilindro pieno (B) $= \tfrac{1}{2}$ → intermedio; anello (C) $= 1$ → accelerazione minima → tempo massimo. Le due sfere hanno lo stesso fattore, quindi lo stesso tempo (il raggio non conta). $\ev{\text{A} = \text{D} < \text{B} < \text{C}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Momento d’inerzia Competenze: Ragionamento di ranking Oggetti: Piano inclinato