Problema — Ranking dei momenti d'inerzia di tre cilindri

Testo

Tre cilindri omogenei della stessa massa e dello stesso raggio: A cilindro pieno; B cilindro cavo a parete spessa (raggio interno $R/2$); C anello sottile (tutta la massa al raggio $R$). Ordina i momenti d’inerzia rispetto all’asse del cilindro, dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Il momento d’inerzia cresce quanto più la massa è lontana dall’asse. A parità di massa e raggio esterno:

• A (pieno): massa distribuita da $0$ a $R$, $I_A = \tfrac{1}{2}MR^2$;
• B (cavo, $R_\text{int}=R/2$): massa distribuita da $R/2$ a $R$, $I_B = \tfrac{1}{2}M(R_\text{int}^2 + R^2) = \tfrac{1}{2}M(\tfrac{R^2}{4}+R^2) = \tfrac{5}{8}MR^2$;
• C (anello): tutta la massa a $R$, $I_C = MR^2$.

Quindi $\tfrac{1}{2} < \tfrac{5}{8} < 1$: $\ev{I_A < I_B < I_C}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento d’inerzia Competenze: Ragionamento di ranking Oggetti: Disco rotante