Problema — Pieno o cavo, chi vince

Testo

Due cilindri di stessa massa e raggio rotolano senza scivolare lungo lo stesso piano inclinato. Uno è pieno, l’altro è cavo (tubo). Quale arriva prima e perché?

Soluzione

L’accelerazione di rotolamento è $a = \dfrac{g\sin\theta}{1 + I/(MR^2)}$: vince chi ha il fattore $I/(MR^2)$ più piccolo, cioè la massa più vicina all’asse.

• Cilindro pieno ($I = \tfrac{1}{2}MR^2$): $a = \dfrac{g\sin\theta}{1{,}5}$;
• Cilindro cavo ($I \approx MR^2$): $a = \dfrac{g\sin\theta}{2}$.

Il pieno ha accelerazione maggiore, quindi arriva prima. Il cavo ha tutta la massa lontano dall’asse: un momento d’inerzia più grande da “caricare”, che ne rallenta la discesa. $\ev{\text{vince il cilindro pieno}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Momento d’inerzia Oggetti: Disco rotante · Piano inclinato