Raccordo con mgh vicino alla superficie

Le due formule dell’energia potenziale — quella universale $-GM_Tm/d$ e quella scolastica $mgh$ — non si contraddicono: la seconda è il caso limite della prima per piccole quote. Vederlo esplicitamente rassicura che stiamo usando la stessa fisica a due livelli di approssimazione.

Vicino alla superficie terrestre poniamo $d = R_T + h$ con $h \ll R_T$. Sviluppando la formula universale al primo ordine in $h/R_T$:

$\begin{aligned} E_\text{pot,G} &= -\frac{GM_Tm}{R_T+h} \approx -\frac{GM_Tm}{R_T}\!\left(1 - \frac{h}{R_T}\right) \\ &= -\frac{GM_Tm}{R_T} + \frac{GM_T}{R_T^2}\,mh = -\frac{GM_Tm}{R_T} + mgh \end{aligned}$

Il primo termine è una costante (l’energia potenziale della superficie), il secondo è proprio $mgh$, avendo riconosciuto $g = GM_T/R_T^2$.

Perché la costante non conta

Le due formule differiscono solo per una costante additiva. Poiché in fisica contano sempre le variazioni $\Delta E_\text{pot}$, e non il valore assoluto, la costante si semplifica: usare $mgh$ o la formula universale porta agli stessi risultati per i dislivelli piccoli.

Questo spiega perché lo “zero” dell’energia potenziale è convenzionale: con $mgh$ lo mettiamo al suolo, con la formula universale all’infinito. La fisica misurabile — le velocità, le altezze raggiunte — non dipende da questa scelta.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Energia potenziale gravitazionale universale · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Impostazione simbolica

Esercizi collegati: Velocità di fuga dalla Terra (energia) · Vero o falso su energia e orbite · Velocità di una cometa al perielio