Fuggire dal Sistema Solare

Testo

Fuggire dal Sistema Solare. Per spedire una sonda fuori dal Sistema Solare bisogna farle vincere due pozzi gravitazionali: quello terrestre e quello solare. Stima la velocità minima che la sonda deve avere alla partenza dalla superficie terrestre, trascurando la rotazione della Terra e le perturbazioni planetarie. Confrontala con la velocità di fuga “solo terrestre” ($\sim 11{,}2\ \text{km/s}$): perché è maggiore di quanto si potrebbe ingenuamente sommare?

Soluzione

I due pozzi. La sonda deve prima uscire dal pozzo della Terra e poi da quello del Sole. La velocità di fuga terrestre alla superficie è $v_{f,T} \approx 11{,}2\ \text{km/s}$.

Fuga dal Sole alla distanza della Terra. Con $GM_\odot \approx 1{,}33\cdot 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ e $r_T = 1{,}5\cdot 10^{11}\ \text{m}$: $v_{f,\odot} = \sqrt{\frac{2GM_\odot}{r_T}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}33\cdot 10^{20}}{1{,}5\cdot 10^{11}}} \approx \sqrt{1{,}77\cdot 10^{9}} \approx 42{,}1\ \text{km/s}$

Sfruttare il moto orbitale della Terra. La Terra si muove già a $v_\oplus \approx 29{,}8\ \text{km/s}$ attorno al Sole. Lanciando la sonda nella direzione del moto terrestre, rispetto al Sole serve solo l’eccesso: $v_\infty = v_{f,\odot} - v_\oplus \approx 42{,}1 - 29{,}8 = 12{,}3\ \text{km/s}$

Questa $v_\infty$ è la velocità residua che la sonda deve conservare, rispetto alla Terra, dopo essersi liberata del pozzo terrestre.

Combinazione dei due pozzi (energie, non velocità). La conservazione dell’energia alla partenza impone che l’energia cinetica iniziale copra sia la fuga dalla Terra sia l’energia residua $v_\infty$: $\tfrac{1}{2}v_\text{lancio}^2 = \tfrac{1}{2}v_{f,T}^2 + \tfrac{1}{2}v_\infty^2 \quad\Longrightarrow\quad v_\text{lancio} = \sqrt{v_{f,T}^2 + v_\infty^2}$

$v_\text{lancio} = \sqrt{11{,}2^2 + 12{,}3^2} = \sqrt{125{,}4 + 151{,}3} = \sqrt{276{,}7}$

$\ev{\Delta v \sim 16{,}6\ \text{km/s} \ \text{dalla superficie terrestre}}$

Perché maggiore del semplice $11{,}2\ \text{km/s}$? Perché non basta uscire dalla Terra: bisogna anche avanzare energia sufficiente a scalare il pozzo del Sole. Le velocità non si sommano linearmente: si sommano le energie cinetiche ($v^2$), quindi $v_\text{lancio} = \sqrt{v_{f,T}^2 + v_\infty^2}$. Il risultato $16{,}6\ \text{km/s}$ è più grande della sola fuga terrestre, ma resta assai minore di $11{,}2 + 42{,}1$ km/s: sfruttando i $29{,}8\ \text{km/s}$ del moto orbitale terrestre si “regala” alla sonda gran parte dell’energia necessaria a fuggire dal Sole (Povey 2015, §10.10).

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Velocità di fuga · Conservazione dell’energia meccanica · Orbite Competenze: Stime di Fermi · Conservazione dell’energia