Periodo di un satellite a 400 km

Testo

Un satellite ruota in orbita circolare a $400\ \text{km}$ di altezza dalla superficie terrestre. Calcola il suo periodo orbitale ($M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6{,}37\cdot 10^6\ \text{m}$, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Soluzione

Raggio dell’orbita. L’altezza va misurata dal centro della Terra: $r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^6 + 0{,}40\cdot 10^6 = 6{,}77\cdot 10^6\ \text{m}$

Impostazione. La gravità fornisce la forza centripeta; ne segue la terza legge di Keplero: $\frac{GM_T m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_T}}$

Sostituzione numerica. Con $GM_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24} \approx 3{,}98\cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ e $r^3 = (6{,}77\cdot 10^6)^3 \approx 3{,}10\cdot 10^{20}\ \text{m}^3$: $T = 2\pi\sqrt{\frac{3{,}10\cdot 10^{20}}{3{,}98\cdot 10^{14}}} = 2\pi\sqrt{7{,}79\cdot 10^{5}} \approx 2\pi\cdot 883\ \text{s}$

$\ev{T \approx 5{,}55\cdot 10^3\ \text{s} \approx 92\ \text{min}}$

Un’orbita bassa dura circa un’ora e mezza: è l’ordine di grandezza dei satelliti in orbita terrestre bassa (LEO), inclusa la Stazione Spaziale Internazionale.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Moto circolare uniforme · Orbite Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Satellite