Stima del raggio dell'orbita geostazionaria

Testo

Stima il raggio dell’orbita geostazionaria, cioè l’orbita in cui un satellite resta sopra lo stesso punto dell’equatore terrestre. (Usa la terza legge di Keplero e la Luna come riferimento, oppure direttamente la formula del periodo.) Dati: $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6{,}37\cdot 10^6\ \text{m}$.

Soluzione

Condizione geostazionaria. Il satellite deve avere periodo uguale al giorno di rotazione terrestre: $T = 24\ \text{h} = 24\cdot 3600\ \text{s} = 8{,}64\cdot 10^4\ \text{s}$

Impostazione con la terza legge di Keplero. Dalla gravità come forza centripeta: $T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_T}} \quad\Longrightarrow\quad r = \left(\frac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$

Sostituzione numerica. Con $GM_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24} \approx 3{,}98\cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$: $r = \left(\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot (8{,}64\cdot 10^4)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 7{,}46\cdot 10^{9}}{39{,}5}\right)^{1/3} = \left(7{,}5\cdot 10^{22}\right)^{1/3}$

$r \approx 4{,}2\cdot 10^7\ \text{m} \approx 42\,000\ \text{km}$

Quota sopra la superficie. Sottraendo il raggio terrestre: $h = r - R_T \approx 42\,000 - 6\,400 \approx 36\,000\ \text{km}$

$\ev{h \sim 36\,000\ \text{km}}$

È l’altezza dei satelliti per telecomunicazioni e meteo, che appaiono fermi in cielo perché ruotano in sincronia con la Terra.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Moto circolare uniforme · Orbite Competenze: Stime di Fermi · Impostazione simbolica Oggetti: Satellite