Esplosione di una sonda

Testo

Una sonda di massa $m = 10^4\ \text{kg}$ orbita attorno alla Terra a distanza $R$. Scoppia in due frammenti uguali ($m_1 = m_2 = 5\cdot 10^3\ \text{kg}$), liberando un’energia $E_\text{esplo} = 2{,}24\cdot 10^{32}\ \text{J}$. I due frammenti si allontanano orizzontalmente in versi opposti con la stessa velocità rispetto al centro di massa. Imponendo conservazione della quantità di moto e dell’energia, trova le velocità $v_{1C}$ e $v_{2C}$ dei due frammenti rispetto al CM.

Soluzione

Conservazione della quantità di moto. Nel riferimento del centro di massa la quantità di moto totale è nulla prima e dopo lo scoppio: $m_1 v_{1C} - m_2 v_{2C} = 0$

Con $m_1 = m_2$ segue subito $\ev{v_{1C} = v_{2C} \equiv v}$ cioè i due frammenti hanno la stessa velocità (in modulo) e versi opposti.

Conservazione dell’energia. L’energia liberata dall’esplosione diventa energia cinetica dei due frammenti: $E_\text{esplo} = \tfrac{1}{2}m_1 v_{1C}^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_{2C}^2 = 2\cdot\tfrac{1}{2}m_\text{fr}\,v^2 = m_\text{fr}\,v^2$

Ricavo $v$ (con $m_\text{fr}=5\cdot 10^3\ \text{kg}$, equivalente a $v=\sqrt{2E_\text{esplo}/m}$ usando la massa totale): $v = \sqrt{\frac{E_\text{esplo}}{m_\text{fr}}} = \sqrt{\frac{2{,}24\cdot 10^{32}}{5\cdot 10^{3}}} = \sqrt{4{,}48\cdot 10^{28}}$

$\ev{v_{1C} = v_{2C} \approx 2{,}1\cdot 10^{14}\ \text{m/s}}$

Attenzione all’ordine di grandezza (fantafisica). Il risultato è enormemente maggiore della velocità della luce ($c\approx 3\cdot 10^8\ \text{m/s}$): fisicamente impossibile. I dati del problema sono irrealistici — l’energia $E_\text{esplo}$ ipotizzata è spropositata rispetto a masse di pochi migliaia di kg. Il metodo (quantità di moto + energia) è corretto; è l’ordine di grandezza dei dati che va controllato. La chiave del libro riporta $\approx 6{,}7\cdot 10^{13}\ \text{m/s}$, coerente con un valore di $E_\text{esplo}$ dieci volte più piccolo ($2{,}24\cdot 10^{31}\ \text{J}$): in ogni caso resta un risultato non fisico.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Conservazione della quantità di moto · Esplosione · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Satellite