Ranking delle velocità orbitali

Testo

Una sonda gira intorno a un pianeta di massa $M = 5\cdot 10^{24}$ kg a distanze: (A) $r = R = 6\cdot 10^6$ m; (B) $r = 2R$; (C) $r = 5R$; (D) $r = 10R$. Ricordando che $v_\text{orb} = \sqrt{GM/r}$, ordina le velocità orbitali dalla più alta alla più bassa.

Soluzione

La velocità orbitale dipende solo dalla distanza $r$: $v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ È una funzione decrescente di $r$: più l’orbita è larga, più la sonda è lenta. Quindi basta ordinare per raggio crescente. Con $GM = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5\cdot 10^{24} = 3{,}34\cdot 10^{14}$ m$^3$/s$^2$: $v_A = \sqrt{\frac{3{,}34\cdot 10^{14}}{6\cdot 10^6}} \approx 7{,}46~\text{km/s}$ $v_B = \sqrt{\frac{3{,}34\cdot 10^{14}}{1{,}2\cdot 10^7}} \approx 5{,}27~\text{km/s}$ $v_C = \sqrt{\frac{3{,}34\cdot 10^{14}}{3\cdot 10^7}} \approx 3{,}33~\text{km/s}$ $v_D = \sqrt{\frac{3{,}34\cdot 10^{14}}{6\cdot 10^7}} \approx 2{,}36~\text{km/s}$ Il raggio più piccolo (A) dà la velocità più alta, il più grande (D) la più bassa. $\ev{A > B > C > D}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Orbite · Moto circolare uniforme Competenze: Ragionamento di ranking