Raggio dell'orbita geostazionaria

Testo

Calcola il raggio orbitale di un satellite geostazionario sopra la Terra ($T = 86\,164$ s, $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}$ kg) usando la terza legge di Keplero.

L’orbita bassa della ISS e quella molto più ampia geostazionaria (GEO).

Soluzione

Uguagliando la forza gravitazionale alla forza centripeta del moto circolare, con $v = 2\pi r/T$, si ottiene la terza legge di Keplero: $T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T}\, r^3$ Da cui si isola il raggio orbitale: $r = \sqrt[3]{\frac{G M_T\, T^2}{4\pi^2}}$ Calcolo dei fattori: $G M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24} = 3{,}98\cdot 10^{14}$ m$^3$/s$^2$; $T^2 = (86\,164)^2 = 7{,}42\cdot 10^9$ s$^2$. Quindi: $r = \sqrt[3]{\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 7{,}42\cdot 10^9}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{2{,}96\cdot 10^{24}}{39{,}48}} = \sqrt[3]{7{,}49\cdot 10^{22}}$ $r \approx 4{,}22\cdot 10^7~\text{m}$ Sottraendo il raggio terrestre $R_T \approx 6{,}37\cdot 10^6$ m, l’altitudine sulla superficie è: $h = r - R_T \approx 4{,}22\cdot 10^7 - 0{,}64\cdot 10^7 \approx 3{,}58\cdot 10^7~\text{m} \approx 35\,800~\text{km}$ $\ev{r \approx 4{,}22\cdot 10^7~\text{m} \ (\approx 35\,800~\text{km di quota})}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Orbite Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Satellite