Massa di un pianeta sconosciuto

Testo

Un pianeta ha un satellite a $r = 10^8$ m con periodo $T = 86\,400$ s. Usando la terza legge di Keplero, calcola la massa del pianeta.

Soluzione

La terza legge di Keplero, ricavata uguagliando forza gravitazionale e forza centripeta, lega periodo e raggio dell’orbita alla massa del corpo centrale: $T^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\, r^3$ Isolando la massa $M$: $M = \frac{4\pi^2\, r^3}{G\, T^2}$ Calcolo dei fattori: $r^3 = (10^8)^3 = 10^{24}$ m$^3$; $T^2 = (86\,400)^2 = 7{,}46\cdot 10^9$ s$^2$; $4\pi^2 = 39{,}5$. Quindi: $M = \frac{39{,}5\cdot 10^{24}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}46\cdot 10^9} = \frac{3{,}95\cdot 10^{25}}{4{,}98\cdot 10^{-1}} \approx 7{,}94\cdot 10^{25}~\text{kg}$ Confrontando con la massa terrestre $M_T \approx 5{,}97\cdot 10^{24}$ kg, il pianeta ha circa $13$ masse terrestri. $\ev{M \approx 7{,}94\cdot 10^{25}~\text{kg} \ (\sim 13\ M_\text{Terra})}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Orbite Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Satellite