Esercizio svolto: due asteroidi che cadono uno sull'altro

Testo

Due asteroidi di masse $m_1 = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$ (come la Terra) e $m_2 = 10^{10}\ \text{kg}$ si trovano inizialmente in quiete e a distanza $d_A = 10^9\ \text{m}$. Trovare la loro velocità quando si incontrano ($d_B = R_\text{Terra} = 6{,}4\cdot 10^6\ \text{m}$), supponendo i due corpi sferici e che $m_1$ sia praticamente fermo.

Soluzione

Conservazione dell’energia meccanica. Poiché $m_1 \gg m_2$, il centro di massa resta approssimativamente su $m_1$, che possiamo considerare fermo; tutta l’energia cinetica va a $m_2$. Tra lo stato iniziale A (in quiete, distanza $d_A$) e lo stato finale B (contatto, distanza $d_B$): $\underbrace{0}_{E_\text{cin,A}} - \frac{Gm_1 m_2}{d_A} = \tfrac{1}{2}m_2 v_B^2 - \frac{Gm_1 m_2}{d_B}$

Semplifico $m_2$ e ricavo $v_B$: $v_B = \sqrt{2Gm_1\left(\frac{1}{d_B} - \frac{1}{d_A}\right)} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{6{,}4\cdot 10^6}\cdot\left(1 - \frac{6{,}4\cdot 10^6}{10^9}\right)}$

Il termine $6{,}4\cdot 10^6/10^9 \approx 0{,}006$ è trascurabile: la partenza da $d_A$ così lontano equivale quasi a partire dall’infinito. $v_B \approx \sqrt{1{,}25\cdot 10^8}$

$\ev{v_B \approx 11{,}2\ \text{km/s}}$

È lo stesso ordine di grandezza della velocità di fuga dalla Terra, come ci si aspetta: partire da molto lontano e cadere fino alla superficie è il processo inverso della fuga.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale gravitazionale universale · Velocità di fuga Competenze: Conservazione dell’energia