Fantafisica: G raddoppiata

Testo

Fantafisica: $G$ raddoppiata. Cosa cambierebbe nel Sistema Solare e sulla Terra se la costante di gravitazione universale $G$ raddoppiasse domani? Discuti gli effetti su orbite, periodi, peso e stelle.

Soluzione

La forza gravitazionale è $F = G\,\dfrac{Mm}{r^2}$: se $G \to 2G$ tutte le attrazioni raddoppiano a parità di distanza. Analizziamo caso per caso.

Orbite. Per un’orbita circolare la forza gravitazionale fornisce la centripeta: $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$, cioè $v^2 = \dfrac{GM}{r}$. I pianeti oggi si muovono a velocità fissate; con $G$ raddoppiata la forza verso il Sole supera quella necessaria a tenerli sull’orbita attuale, quindi cadrebbero verso l’interno: le orbite si stringerebbero.

Periodi. Dalla terza legge di Keplero $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}$: a parità di semiasse $a$, se $G \to 2G$ allora $T \to \dfrac{T}{\sqrt 2}$. I periodi si ridurrebbero di un fattore $\sqrt 2$ (anni più corti).

Peso. In superficie $g = \dfrac{GM_T}{R_T^2}$: raddoppierebbe. $g' = 2g \approx 2 \cdot 9{,}8 \approx 20\ \text{m/s}^2$ Il peso di ogni corpo raddoppierebbe: enorme difficoltà a camminare, a sostenere strutture, muscoli e ossa inadeguati.

Stelle. Una stella è in equilibrio idrostatico tra pressione interna e autogravità. Con $G$ maggiore la compressione gravitazionale è più intensa: nuclei più caldi, fusione più rapida, vite stellari più brevi. Le soglie di collasso (limite di Chandrasekhar $M_\text{Ch} \propto G^{-3/2}$) si abbassano: nani bianchi e stelle di neutroni nascerebbero a masse inferiori. Il cosmo sarebbe radicalmente diverso.

$\ev{\text{orbite più strette};\quad T \to T/\sqrt2;\quad g \approx 20\ \text{m/s}^2;\quad \text{stelle a vita breve}}$

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