Fantafisica: forza gravitazionale come 1/r³

Testo

Fantafisica: $1/r^3$ invece di $1/r^2$. Immagina che la forza gravitazionale scali come $1/r^3$ invece di $1/r^2$. Discuti le conseguenze qualitative sulle orbite planetarie.

Soluzione

Con la legge reale $F \propto 1/r^2$ le orbite legate sono ellissi chiuse (prima legge di Keplero): dopo un giro il pianeta ripassa esattamente dallo stesso punto. Questa proprietà è eccezionale.

Teorema di Bertrand. Le uniche forze centrali radiali per cui tutte le orbite legate sono chiuse sono due: quella $\propto 1/r^2$ (gravitazione, Coulomb) e quella $\propto r$ (oscillatore armonico). Qualunque altro esponente produce orbite che non si richiudono: il pianeta traccia una rosetta che precede, oppure spiraleggia.

Il caso $1/r^3$. Analizziamo la stabilità con il potenziale efficace. Per una forza $F \propto 1/r^3$ il potenziale va come $U \propto -1/r^2$, e il termine centrifugo del momento angolare va anch’esso come $+L^2/(2mr^2) \propto 1/r^2$. I due termini hanno la stessa dipendenza $1/r^2$: non si forma un minimo del potenziale efficace che intrappoli il pianeta in un’orbita stabile. $U_\text{eff}(r) = -\frac{k}{r^2} + \frac{L^2}{2m\,r^2} = \frac{1}{r^2}\!\left(\frac{L^2}{2m} - k\right)$ Il segno della parentesi decide tutto: o il pianeta precipita a spirale verso la stella (se la gravità vince), o sfugge a spirale verso l’infinito (se vince la centrifuga). Non esistono orbite chiuse stabili intermedie.

Conseguenza. Un Sistema Solare come lo conosciamo — pianeti su orbite stabili e ricorrenti per miliardi di anni — non potrebbe esistere. La stabilità del sistema planetario dipende in modo essenziale dall’esponente $-2$ della legge di gravitazione.

$\ev{\text{con } F \propto 1/r^3:\ \text{nessuna orbita chiusa stabile} \Rightarrow \text{caduta o fuga a spirale}}$

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