Pianeta da Keplero — massa della stella, velocità ed energia

Testo

Pianeta da Keplero. Un pianeta orbita una stella con periodo $T = 365$ giorni e distanza media $a = 1{,}5\cdot 10^{11}$ m. Calcola (a) la massa della stella; (b) la velocità orbitale media; (c) l’energia cinetica media per unità di massa.

Il pianeta percorre un’orbita di raggio medio $a$ attorno alla stella.

Soluzione

Convertiamo il periodo: $T = 365 \cdot 86400 = 3{,}15\cdot 10^7$ s.

(a) Massa della stella. Dalla terza legge di Keplero $T^2 = \dfrac{4\pi^2 a^3}{GM}$ ricaviamo $M = \frac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2} = \frac{4\pi^2 (1{,}5\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\,(3{,}15\cdot 10^7)^2}$ $M = \frac{39{,}5 \cdot 3{,}38\cdot 10^{33}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 9{,}95\cdot 10^{14}} \approx 2{,}0\cdot 10^{30}\ \text{kg}$ È circa la massa del Sole (come atteso: $a = 1$ UA, $T = 1$ anno).

(b) Velocità orbitale media. Per un’orbita circolare $v = \dfrac{2\pi a}{T}$: $v = \frac{2\pi \cdot 1{,}5\cdot 10^{11}}{3{,}15\cdot 10^7} \approx 2{,}99\cdot 10^4\ \text{m/s} \approx 30\ \text{km/s}$

(c) Energia cinetica per unità di massa. $\dfrac{E_k}{m} = \dfrac12 v^2$: $\frac{E_k}{m} = \frac12 (2{,}99\cdot 10^4)^2 \approx 4{,}5\cdot 10^8\ \text{J/kg}$

$\ev{M \approx 2{,}0\cdot 10^{30}\ \text{kg};\quad v \approx 30\ \text{km/s};\quad E_k/m \approx 4{,}5\cdot 10^8\ \text{J/kg}}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Moto circolare uniforme · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica