Trasferimento di Hohmann Terra-Marte

Testo

Trasferimento Hohmann Terra-Marte. Stima il $\Delta v$ totale necessario per un’orbita di trasferimento alla Hohmann Terra-Marte, sapendo che il semiasse maggiore della Terra è $a_T = 1{,}5\cdot 10^{11}$ m e quello di Marte $a_M = 2{,}28\cdot 10^{11}$ m. Usa $v = \sqrt{GM_S(2/r - 1/a)}$ e ricorda che il semiasse dell’orbita di trasferimento è $(a_T + a_M)/2$.

L’ellisse di trasferimento (tratteggiata) è tangente all’orbita terrestre al perielio e a quella marziana all’afelio.

Soluzione

Poniamo $GM_S = 6{,}67\cdot 10^{-11} \cdot 2{,}0\cdot 10^{30} = 1{,}33\cdot 10^{20}$ (SI). Il semiasse dell’ellisse di trasferimento è $a_t = \frac{a_T + a_M}{2} = \frac{(1{,}5 + 2{,}28)\cdot 10^{11}}{2} = 1{,}89\cdot 10^{11}\ \text{m}$

Manovra 1 (partenza dalla Terra). Velocità circolare terrestre: $v_T = \sqrt{GM_S/a_T} = \sqrt{1{,}33\cdot 10^{20}/1{,}5\cdot 10^{11}} \approx 2{,}98\cdot 10^4$ m/s. Velocità al perielio dell’ellisse ($r = a_T$): $v_{p} = \sqrt{GM_S\!\left(\frac{2}{a_T} - \frac{1}{a_t}\right)} = \sqrt{1{,}33\cdot 10^{20}(1{,}33\cdot 10^{-11} - 5{,}29\cdot 10^{-12})} \approx 3{,}28\cdot 10^4\ \text{m/s}$ $\Delta v_1 = v_p - v_T \approx 32{,}8 - 29{,}8 \approx 2{,}9\ \text{km/s}$

Manovra 2 (arrivo a Marte). Velocità all’afelio dell’ellisse ($r = a_M$): $v_{a} = \sqrt{GM_S\!\left(\frac{2}{a_M} - \frac{1}{a_t}\right)} = \sqrt{1{,}33\cdot 10^{20}(8{,}77\cdot 10^{-12} - 5{,}29\cdot 10^{-12})} \approx 2{,}16\cdot 10^4\ \text{m/s}$ Velocità circolare marziana: $v_M = \sqrt{GM_S/a_M} \approx 2{,}42\cdot 10^4$ m/s. $\Delta v_2 = v_M - v_a \approx 24{,}2 - 21{,}6 \approx 2{,}6\ \text{km/s}$

Totale. $\Delta v_\text{tot} = \Delta v_1 + \Delta v_2 \approx 2{,}9 + 2{,}6 \approx 5{,}6\ \text{km/s}$

$\ev{\Delta v_\text{tot} \approx 5{,}6\ \text{km/s}\quad(\Delta v_1 \approx 2{,}9\ \text{km/s alla partenza})}$

Collegamenti

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