Lettura grafico: g(r) dentro e fuori la Terra

Testo

Lettura grafico: $g(r)$ dentro e fuori la Terra. Il grafico mostra $g(r)$ in funzione di $r$ partendo dal centro della Terra: sale linearmente fino a $r = R_T$, poi decresce come $1/r^2$. Spiega l’origine fisica dei due andamenti.

Crescita lineare all’interno, decrescita $\propto 1/r^2$ all’esterno; il massimo è in superficie ($r = R_T$).

Soluzione

Dentro la Terra ($r < R_T$). Per il teorema di Gauss (o di Newton per i gusci sferici), un guscio sferico non esercita forza gravitazionale al suo interno: nel punto a distanza $r$ dal centro conta solo la massa contenuta entro il raggio $r$. Per una Terra di densità uniforme $\rho$: $M(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ quindi $g(r) = \frac{G\,M(r)}{r^2} = \frac{G}{r^2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \rho = \frac{4}{3}\pi G \rho\, r$ che è lineare in $r$: al centro $g(0) = 0$ (la massa attorno tira in tutte le direzioni e si compensa), e cresce fino alla superficie.

Fuori dalla Terra ($r > R_T$). Ora tutta la massa $M_T$ è racchiusa entro $r$ e agisce come concentrata nel centro: $g(r) = \frac{GM_T}{r^2}$ che decresce come $1/r^2$.

Massimo in superficie. I due rami si raccordano a $r = R_T$, dove $g$ raggiunge il valore massimo $g_0 = GM_T/R_T^2 \approx 9{,}8$ m/s$^2$: è il punto in cui si ha tutta la massa terrestre alla minima distanza possibile dalla superficie.

$\ev{r<R_T:\ g \propto r \ \text{(lineare)};\quad r>R_T:\ g \propto 1/r^2;\quad g_{\max} \text{ in superficie}}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Legge di gravitazione universale · Forza peso Competenze: Lettura dei grafici