Stima della massa del Sole

Testo

Stima della massa del Sole. Sapendo che la Terra ha periodo $T \approx 1$ anno e distanza $1$ UA $\approx 1{,}5\cdot 10^{11}$ m, stima la massa del Sole con la terza legge di Keplero.

Soluzione

La terza legge di Keplero per l’orbita (quasi circolare) della Terra è $T^2 = \dfrac{4\pi^2 a^3}{GM_S}$, da cui $M_S = \frac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2}$

Convertiamo il periodo: $T = 1\ \text{anno} \approx 365 \cdot 86400 \approx 3{,}15\cdot 10^7$ s. Sostituiamo con $a = 1{,}5\cdot 10^{11}$ m e $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}$: $M_S = \frac{4\pi^2 (1{,}5\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\,(3{,}15\cdot 10^7)^2} = \frac{39{,}5 \cdot 3{,}38\cdot 10^{33}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 9{,}92\cdot 10^{14}}$ $M_S = \frac{1{,}33\cdot 10^{35}}{6{,}62\cdot 10^{4}} \approx 2\cdot 10^{30}\ \text{kg}$

Il valore accettato è $1{,}99\cdot 10^{30}$ kg: la stima con la sola terza legge di Keplero è ottima.

$\ev{M_S \approx 2\cdot 10^{30}\ \text{kg}}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero Competenze: Stime di Fermi