Caduta al centro della Terra

Testo

Caduta nel centro della Terra. Stima il tempo che impiegherebbe un oggetto a cadere fino al centro della Terra attraverso un tunnel diritto, lasciato libero in superficie. Trascura attriti e rotazione. Suggerimento: dentro una Terra omogenea, $g(r) = g_0\,r/R$.

Soluzione

Dentro una Terra omogenea la gravità cresce linearmente con la distanza dal centro: $g(r) = g_0\,\dfrac{r}{R}$, diretta verso il centro. L’equazione del moto lungo il tunnel è $m\ddot r = -m\,g_0\,\frac{r}{R} \quad\Longrightarrow\quad \ddot r = -\frac{g_0}{R}\,r$

Questa è l’equazione del moto armonico semplice $\ddot r = -\omega^2 r$ con $\omega = \sqrt{\frac{g_0}{R}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g_0}}$

Con $R = 6{,}37\cdot 10^6$ m e $g_0 = 9{,}8$ m/s$^2$: $T = 2\pi\sqrt{\frac{6{,}37\cdot 10^6}{9{,}8}} = 2\pi\sqrt{6{,}5\cdot 10^5} \approx 2\pi \cdot 806 \approx 5{,}06\cdot 10^3\ \text{s} \approx 84\ \text{min}$

L’oggetto lasciato in superficie parte da un’ampiezza pari a $R$ e raggiunge il centro dopo un quarto di oscillazione: $t = \frac{T}{4} \approx \frac{84}{4} \approx 21\ \text{minuti}$

$\ev{t = T/4 \approx 21\ \text{min}\quad(\text{oscillazione armonica con } T = 2\pi\sqrt{R/g_0} \approx 84\ \text{min})}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Moto armonico semplice · Forza peso Competenze: Stime di Fermi