Esercizio svolto: la massa del Sole da Keplero

Testo

La Terra orbita attorno al Sole a distanza $d = 1{,}5\cdot 10^{11}\ \text{m}$ con periodo $T = 3{,}15\cdot 10^7\ \text{s}$ (un anno). Supponendo l’orbita circolare, calcolare la massa del Sole.

Soluzione

Impostazione. La forza gravitazionale del Sole sulla Terra fornisce l’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme: $\frac{GM_\star m_T}{d^2} = m_T\,\omega^2\,d \;\Rightarrow\; M_\star = \frac{\omega^2 d^3}{G} = \frac{(2\pi/T)^2 d^3}{G}$

La massa della Terra $m_T$ si semplifica: non serve conoscerla.

Velocità angolare. $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3{,}15\cdot 10^7} = 1{,}99\cdot 10^{-7}\ \text{rad/s}$

Sostituzione numerica. $M_\star = \frac{(1{,}99\cdot 10^{-7})^2\cdot(1{,}5\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}}$

$\ev{M_\star \approx 2{,}0\cdot 10^{30}\ \text{kg}}$

Circa $330\,000$ volte la massa della Terra. Misurando periodo e raggio di un’orbita si “pesa” così il corpo centrale.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Legge di gravitazione universale · Forza centripeta · Moto circolare uniforme Competenze: Impostazione simbolica