Pianeta tra due stelle uguali — equilibrio instabile

Testo

Sfida: pianeta tra due stelle uguali. Un pianeta sta esattamente a metà strada tra due stelle uguali di massa $M$. Mostra in che senso l’equilibrio è instabile e indica il tipo di deriva che ne consegue.

Nel punto medio le due attrazioni si bilanciano, ma una piccola perturbazione le sbilancia.

Soluzione

Equilibrio nel punto medio. Sia $2d$ la distanza tra le stelle. Nel punto medio il pianeta dista $d$ da ciascuna; le due forze sono uguali e opposte: $F_1 = F_2 = \frac{GMm}{d^2} \quad\Longrightarrow\quad F_\text{ris} = 0$ È un punto di equilibrio.

Perché è instabile. Spostiamo il pianeta di $\delta x$ verso la stella 2 (a destra). Ora dista $d - \delta x$ dalla stella 2 e $d + \delta x$ dalla stella 1: $F_2 = \frac{GMm}{(d-\delta x)^2}\ \text{aumenta}, \qquad F_1 = \frac{GMm}{(d+\delta x)^2}\ \text{diminuisce}$ La forza verso la stella vicina cresce (il fattore $1/r^2$ esplode al diminuire di $r$), quella verso la stella lontana cala. La risultante non è più nulla ma punta verso la stella 2, cioè nella direzione dello spostamento. La forza netta allontana ulteriormente il pianeta dal punto di equilibrio: è la firma di un equilibrio instabile.

Quantitativamente, la risultante per piccoli $\delta x$ è $F_\text{ris} \approx \frac{4GMm}{d^3}\,\delta x$ proporzionale e concorde allo spostamento: una forza “anti-richiamo” che amplifica la perturbazione (contrario di una molla).

Deriva conseguente. Il pianeta viene catturato dalla stella più vicina: cade verso di essa con accelerazione crescente. L’equilibrio esiste solo in teoria per una posizione perfetta. È del tutto analogo ai punti di Lagrange collineari $L_1, L_2, L_3$, che sono instabili lungo la congiungente.

$\ev{\text{equilibrio instabile: } \delta x \Rightarrow F_\text{ris}\propto +\delta x \Rightarrow \text{cattura da parte della stella vicina}}$

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Legge di gravitazione universale Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica