Periodo di un pianeta a 2,4 UA

Testo

Un nuovo pianeta ipotetico orbita attorno al Sole a una distanza media $a = 2{,}4\ \text{UA}$ (unità astronomiche). Usando la terza legge di Keplero nella forma $T^2/a^3 = \text{cost}$, calcola il periodo di rivoluzione del pianeta espresso in anni terrestri.

Soluzione

Terza legge di Keplero. La costante è la stessa per tutti i corpi che orbitano il Sole. Confronto il pianeta con la Terra: $\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_\text{Terra}^2}{a_\text{Terra}^3}$

Scelta di unità comode. Misurando i tempi in anni e le distanze in UA, per la Terra $T_\text{Terra}=1\ \text{anno}$ e $a_\text{Terra}=1\ \text{UA}$, quindi la costante vale $1$: $T^2 = a^3 \;\Rightarrow\; T = a^{3/2}$

Sostituzione numerica. $T = (2{,}4)^{3/2} = 2{,}4\cdot\sqrt{2{,}4} = 2{,}4\cdot 1{,}55 \approx 3{,}72$

$\ev{T \approx 3{,}7\ \text{anni}}$

Più il pianeta è lontano, più lentamente percorre l’orbita: a $2{,}4\ \text{UA}$ impiega quasi quattro anni terrestri per una rivoluzione.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Orbite Competenze: Impostazione simbolica