Problema — Raffreddamento di Newton

Testo

Un corpo caldo a $80 \ ^{\circ}\text{C}$ viene appoggiato in una stanza a $20 \ ^{\circ}\text{C}$. Si misura la temperatura nel tempo, ottenendo la seguente tabella:

| t (min) | 0 | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 | | T (°C) | 80 | 58 | 44 | 30 | 22,5 | 20,5 |

(a) Verifica qualitativamente che il raffreddamento segua la legge di Newton, $T(t) - T_{amb} = (T_0 - T_{amb})\,e^{-kt}$, con $T_0 = 80 \ ^{\circ}\text{C}$ e $T_{amb} = 20 \ ^{\circ}\text{C}$. (b) Stima la costante $k$.

Temperatura misurata (punti blu) e curva esponenziale interpolante (rossa) con temperatura ambiente tratteggiata.

Soluzione

Conviene ragionare sull’eccesso di temperatura rispetto all’ambiente, $\theta = T - 20$: si ottengono i valori $\theta(0) = 60$, $\theta(5) = 38$, $\theta(10) = 24$, $\theta(20) = 10$, $\theta(40) = 2{,}5$, $\theta(80) = 0{,}5$ (in gradi). (a) Su intervalli di tempo uguali i rapporti tra valori successivi dell’eccesso sono all’incirca costanti (per esempio $38/60 \approx 0{,}63$ e $24/38 \approx 0{,}63$): questo è il segno tipico di un calo esponenziale, quindi la legge di Newton è verificata. (b) Dalla relazione $\theta = 60 \, e^{-kt}$ si ricava $k$ invertendo l’esponenziale in vari istanti: $\begin{aligned} t = 5: \ & k = -\frac{\ln(38/60)}{5} \approx 0{,}091 \\ t = 10: \ & k = -\frac{\ln(24/60)}{10} \approx 0{,}092 \\ t = 20: \ & k = -\frac{\ln(10/60)}{20} \approx 0{,}090 \end{aligned}$ I tre valori sono coerenti; la media è $k \approx 0{,}092 \ \text{min}^{-1}$. Il tempo di dimezzamento dell’eccesso di temperatura è $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}092} \approx 7{,}6 \ \text{min}$. $\ev{k \approx 0{,}092 \ \text{min}^{-1} \qquad t_{1/2} \approx 7{,}6 \ \text{min}}$

Collegamenti

Argomenti: Termologia Concetti: Trasmissione del calore