Problema — Dilatazione di un volume

Testo

Un recipiente di vetro contiene $V_0 = 500$ ml di mercurio a $20\,^{\circ}$C. I coefficienti di dilatazione volumetrica valgono $\beta_{\text{Hg}} = 1{,}8 \cdot 10^{-4}$ K$^{-1}$ per il mercurio e $\beta_{\text{vetro}} \approx 1{,}0 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$ per il vetro. Scaldando l’insieme fino a $70\,^{\circ}$C, quanto mercurio fuoriesce, supponendo il recipiente inizialmente pieno raso?

Soluzione

La variazione di temperatura è $\Delta T = 70\,^{\circ}\text{C} - 20\,^{\circ}\text{C} = 50$ K.

Il mercurio si dilata di: $\Delta V_{\text{Hg}} = V_0 \, \beta_{\text{Hg}} \, \Delta T = 500 \cdot 1{,}8 \cdot 10^{-4} \cdot 50 = 4{,}5 \ \text{ml}$

Ma anche la cavità di vetro aumenta il proprio volume (un contenitore che si dilata “cresce” come se fosse pieno del materiale delle pareti): $\Delta V_{\text{vetro}} = V_0 \, \beta_{\text{vetro}} \, \Delta T = 500 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-5} \cdot 50 = 0{,}25 \ \text{ml}$

Il mercurio che effettivamente trabocca è la differenza fra la dilatazione del liquido e quella della cavità che lo contiene: $\Delta V = \Delta V_{\text{Hg}} - \Delta V_{\text{vetro}} = 4{,}5 - 0{,}25 = 4{,}25 \ \text{ml}$

$\ev{\Delta V \approx 4{,}25 \ \text{ml}}$

Collegamenti

Argomenti: Termologia Concetti: Dilatazione termica