Isoterma e adiabatica

Testo

Dallo stesso punto del piano $p\text{-}V$ disegna un’isoterma e un’adiabatica reversibile. Spiega in cinque righe perché l’adiabatica scende più rapidamente.

Soluzione

Pendenza dell’isoterma. Per un gas ideale a temperatura costante vale $pV=\text{cost}$. Derivando: $p\,\dd V + V\,\dd p = 0$, quindi la pendenza nel piano $p\text{-}V$ è

$\left(\frac{\dd p}{\dd V}\right)_{T} = -\frac{p}{V}$

Pendenza dell’adiabatica. In una trasformazione adiabatica reversibile vale $pV^{\gamma}=\text{cost}$. Derivando: $\gamma p V^{\gamma-1}\,\dd V + V^{\gamma}\,\dd p = 0$, quindi

$\left(\frac{\dd p}{\dd V}\right)_{\text{ad}} = -\gamma\,\frac{p}{V}$

Confronto. Poiché $\gamma = c_p/c_V > 1$, nello stesso punto (stesso $p$ e $V$) l’adiabatica ha pendenza maggiore in modulo: scende più rapidamente.

Interpretazione fisica. Nell’espansione adiabatica il gas non riceve calore ($Q=0$): l’energia per compiere lavoro viene dall’energia interna, quindi il gas si raffredda e la pressione cala di più. Nell’isoterma, invece, il gas assorbe calore che compensa il lavoro, mantiene $T$ costante e la pressione cala meno.

$\ev{\text{adiabatica più ripida perché } \gamma>1}$

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche Metodi: Diagramma P-V e ln P - ln V Oggetti: Gas ideale