Ranking: lavoro in espansioni

Testo

Quattro processi su una mole di gas ideale che espande da $V_1$ a $V_2 = 2V_1$:

• (A) isoterma a $300\ \text{K}$;
• (B) isobara a $p_1 = 1\ \text{atm}$ partendo da $T = 300\ \text{K}$;
• (C) isocora seguita da isobara fino allo stesso $V_2$;
• (D) adiabatica con $\gamma = 7/5$ partendo da $T = 300\ \text{K}$.

Ordina il lavoro fatto dal gas dal più piccolo al più grande.

Soluzione

(A) Isoterma. Il lavoro è

$L_A = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} = 8{,}31\cdot 300\cdot \ln 2 = 2493\cdot 0{,}693 \approx 1728\ \text{J}$

(B) Isobara. A pressione costante, se $V$ raddoppia anche $T$ raddoppia ($T_2 = 600\ \text{K}$). Il lavoro è

$L_B = p_1\,\Delta V = nR\,\Delta T = nR\,T_1 = 8{,}31\cdot 300 \approx 2493\ \text{J}$

(D) Adiabatica. La temperatura finale è

$T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 300\cdot 0{,}5^{0{,}4} \approx 227\ \text{K}$

e, poiché $Q=0$, il lavoro viene dall’energia interna:

$L_D = n\,C_V(T_1 - T_2) = \frac{5}{2}\cdot 8{,}31\cdot(300-227) = 20{,}78\cdot 73 \approx 1517\ \text{J}$

minore dell’isoterma, perché il gas si raffredda e la pressione crolla in fretta.

(C) Isocora + isobara. Nel primo tratto (isocora) il volume non cambia e $L=0$; poi l’isobara finale spinge fino a $V_2$ a una pressione $\ge p_1$ (perché l’isocora ha prima aumentato $p$). Il lavoro è quindi paragonabile o leggermente superiore a quello dell’isobara $B$.

Ordinamento.

$\ev{D < A < B \approx C}$

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche Competenze: Ragionamento di ranking Oggetti: Gas ideale