Problema — Ciclo di Carnot monoatomico (400-250 K)

Testo

Un ciclo di Carnot reversibile è compiuto da $1\;\text{mol}$ di gas monoatomico tra $T_H = 400\;\text{K}$ e $T_C = 250\;\text{K}$. Durante l’espansione isoterma calda il volume raddoppia. Calcola: (a) $Q_H$ assorbito, (b) $|Q_C|$ ceduto, (c) il lavoro netto prodotto, (d) il rendimento e confrontalo col valore di Carnot. Usa $R = 8{,}31\;\text{J/(mol·K)}$, $\ln 2 \approx 0{,}693$.

Soluzione

(a) Calore assorbito (isoterma calda A→B, $V_B/V_A = 2$):

$Q_H = nRT_H\ln 2 = 1\cdot 8{,}31\cdot 400\cdot 0{,}693 = \ev{2304\;\text{J} \approx 2{,}3\cdot 10^3\;\text{J}}$

(b) Calore ceduto. Dalle adiabatiche $V_C/V_D = V_B/V_A = 2$, quindi anche l’isoterma fredda vede raddoppiare il volume:

$|Q_C| = nRT_C\ln 2 = 1\cdot 8{,}31\cdot 250\cdot 0{,}693 = \ev{1440\;\text{J} \approx 1{,}4\cdot 10^3\;\text{J}}$

(c) Lavoro netto. In un ciclo $\Delta E_\text{int} = 0$, quindi $L_\text{netto} = Q_H - |Q_C|$:

$L_\text{netto} = 2304 - 1440 = \ev{864\;\text{J} \approx 8{,}6\cdot 10^2\;\text{J}}$

(d) Rendimento e verifica.

$\eta = \frac{L_\text{netto}}{Q_H} = \frac{864}{2304} = 0{,}375 \approx \ev{38\%}$

$\eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{250}{400} = 0{,}375 = 37{,}5\% \quad\checkmark$

I due valori coincidono: il ciclo di Carnot raggiunge esattamente il rendimento massimo tra le due temperature.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Rendimento Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico Oggetti: Macchina termica · Gas ideale