Problema — Ranking di quattro macchine di Carnot

Testo

Quattro macchine termiche operano fra una sorgente calda $T_c$ e una fredda $T_f$; tutte sono macchine di Carnot ideali. Ordina i rendimenti $\eta = 1 - T_f/T_c$ dal più piccolo al più grande.

• (A) $T_c = 600\;\text{K}$, $T_f = 300\;\text{K}$
• (B) $T_c = 1000\;\text{K}$, $T_f = 400\;\text{K}$
• (C) $T_c = 2000\;\text{K}$, $T_f = 300\;\text{K}$
• (D) $T_c = 400\;\text{K}$, $T_f = 300\;\text{K}$

Soluzione

Formula. Per ogni macchina di Carnot $\eta = 1 - T_f/T_c$. Calcoliamo caso per caso:

$\eta_A = 1 - \frac{300}{600} = 0{,}50 \qquad \eta_B = 1 - \frac{400}{1000} = 0{,}60$

$\eta_C = 1 - \frac{300}{2000} = 0{,}85 \qquad \eta_D = 1 - \frac{300}{400} = 0{,}25$

Ordinamento (dal più piccolo al più grande):

$0{,}25 < 0{,}50 < 0{,}60 < 0{,}85 \quad\Rightarrow\quad \ev{\eta_D < \eta_A < \eta_B < \eta_C}$

Il rendimento cresce quanto più il rapporto $T_f/T_c$ è piccolo: C vince perché ha la sorgente calda molto più alta della fredda; D perde perché le due temperature sono quasi uguali.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Rendimento Competenze: Ragionamento di ranking Oggetti: Macchina termica