Esercizio svolto — ciclo di Carnot semplificato

Testo

$1\;\text{mol}$ di gas monoatomico compie un ciclo di Carnot tra $T_H = 600\;\text{K}$ e $T_C = 300\;\text{K}$. Nell’espansione isoterma calda il volume raddoppia. Calcolare il rendimento e confrontarlo con $\eta_\text{Carnot}$. Usare $R = 8{,}31\;\text{J/(mol·K)}$, $\ln 2 \approx 0{,}693$.

Soluzione

Calore assorbito (A→B, isoterma a $T_H$). Nell’espansione isoterma reversibile $Q_H = nRT_H\ln(V_B/V_A)$, con $V_B/V_A = 2$:

$Q_H = nRT_H\ln 2 = 1\cdot 8{,}31\cdot 600\cdot 0{,}693 = 3456\;\text{J}$

Rapporto dei volumi sull’isoterma fredda. Dalle due adiabatiche del ciclo si ricava $V_C/V_D = V_B/V_A = 2$: anche l’isoterma fredda vede il volume raddoppiare.

Calore ceduto (C→D, isoterma a $T_C$).

$|Q_C| = nRT_C\ln 2 = 1\cdot 8{,}31\cdot 300\cdot 0{,}693 = 1728\;\text{J}$

Lavoro netto. In un ciclo $\Delta E_\text{int} = 0$, quindi $L_\text{netto} = Q_H - |Q_C|$:

$L_\text{netto} = 3456 - 1728 = 1728\;\text{J}$

Rendimento.

$\eta = \frac{L_\text{netto}}{Q_H} = \frac{1728}{3456} = \ev{0{,}5 = 50\%}$

Verifica con la formula di Carnot.

$\eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{600} = 0{,}5 = 50\% \quad\checkmark$

I due valori coincidono: il ciclo di Carnot raggiunge esattamente il rendimento massimo consentito tra le due temperature, e questo non dipende dal tipo di gas.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Rendimento · Trasformazioni termodinamiche Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico Oggetti: Macchina termica · Gas ideale