Problema — Stima della potenza di un condizionatore

Testo

Stima la potenza minima che serve per condizionare una stanza in cui entrano (per dispersioni dalle pareti e dal sole) $1000$ W di potenza termica. La temperatura interna voluta è $25\,^\circ$C, l’esterno è a $35\,^\circ$C. (Usa il limite di Carnot per il COP.)

Soluzione

Temperature assolute. Convertiamo in kelvin:

$T_f = 25 + 273 = 298 \ \text{K}, \qquad T_c = 35 + 273 = 308 \ \text{K}$

COP massimo (limite di Carnot). Un condizionatore è un frigorifero che estrae calore dall’interno freddo ($T_f$) e lo scarica all’esterno caldo ($T_c$). Il miglior COP possibile è:

$\beta_{\max} = \frac{T_f}{T_c - T_f} = \frac{298}{308 - 298} = \frac{298}{10} = 29{,}8$

Potenza minima. In regime stazionario il condizionatore deve estrarre $Q_f$ alla stessa velocità con cui entra calore, cioè $\dot{Q}_f = 1000$ W. Poiché $\beta = \dot{Q}_f / P$:

$P_{\min} = \frac{\dot{Q}_f}{\beta_{\max}} = \frac{1000}{29{,}8} \approx 33{,}6 \ \text{W}$

Stima all’ordine di grandezza.

$\ev{P_{\min} \sim 30 \ \text{W} \ (\text{ordine } 10^1 \ \text{W})}$

Il piccolo salto termico ($10$ K) rende il COP altissimo: bastano poche decine di watt di lavoro per spostare un kilowatt di calore. Un condizionatore reale, non ideale, consuma di più (centinaia di watt), ma l’ordine di grandezza del limite fisico è questo.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Frigorifero e pompa di calore · Ciclo di Carnot Competenze: Stime di Fermi Oggetti: Frigorifero