Problema — Ciclo di Carnot nel piano T-S

Testo

Sul diagramma temperatura-entropia, un ciclo di Carnot è un rettangolo. Perché le isoterme sono orizzontali e le adiabatiche reversibili sono verticali? A cosa corrisponde l’area racchiusa?

Soluzione

Isoterme = tratti orizzontali. Lungo un’isoterma la temperatura è per definizione costante. Nel piano con $T$ in ordinata e $S$ in ascissa, $T = \text{cost}$ è una retta orizzontale. Durante lo scambio isotermo l’entropia varia (entra o esce calore), quindi il segmento è orizzontale e si sposta in $S$.

Adiabatiche reversibili = tratti verticali. Per una trasformazione reversibile la variazione di entropia è:

$\dd S = \frac{\dd Q_{\text{rev}}}{T}$

In un’adiabatica non c’è scambio di calore ($\dd Q = 0$), quindi $\dd S = 0$: l’entropia resta costante (trasformazione isoentropica). $S = \text{cost}$ è una retta verticale, lungo la quale varia solo $T$.

Le quattro fasi. Il ciclo di Carnot combina due isoterme (orizzontali, a $T_c$ e $T_f$) e due adiabatiche reversibili (verticali): il risultato è esattamente un rettangolo di base $\Delta S$ e altezza $T_c - T_f$.

Area racchiusa. Il calore scambiato è $Q = \int T \, \dd S$, cioè l’area sotto la curva nel piano $T$-$S$. Sul ciclo chiuso:

$\oint T \, \dd S = Q_c - Q_f = W_{\text{netto}}$

L’area del rettangolo vale quindi il lavoro netto prodotto:

$\ev{W_{\text{netto}} = (T_c - T_f)\,\Delta S = \text{area del rettangolo}}$

Il diagramma $T$-$S$ rende il ciclo di Carnot geometricamente banale: un rettangolo la cui area è il lavoro, il modo più diretto per “vedere” $\eta = 1 - T_f/T_c$.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio · Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Entropia · Trasformazioni termodinamiche Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Macchina termica