Problema — Rendimento di Carnot per T_f che tende a zero

Testo

Cosa diventa il rendimento di Carnot se la temperatura del serbatoio freddo tende allo zero kelvin? È davvero raggiungibile? Quale principio della termodinamica lo proibisce?

Soluzione

Limite del rendimento. Il rendimento di Carnot è

$\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c}$

Per $T_f \to 0$ il rapporto $T_f/T_c \to 0$, quindi

$\lim_{T_f \to 0} \eta = \ev{1}$

cioè il $100\%$: tutto il calore assorbito verrebbe convertito in lavoro, senza scarto al freddo.

Perché è impossibile. Un rendimento unitario significherebbe una macchina che trasforma integralmente calore in lavoro senza cedere nulla — la violazione diretta dell’enunciato di Kelvin del secondo principio. Il punto profondo, però, è che $T_f = 0\;\text{K}$ non è raggiungibile: il terzo principio della termodinamica afferma che lo zero assoluto non può essere raggiunto con un numero finito di processi. Ogni passo di raffreddamento estrae solo una frazione del calore residuo, così lo zero resta un limite asintotico.

Quindi $\eta = 1$ è un ideale irraggiungibile: nessuna macchina reale può disporre di un serbatoio a $0\;\text{K}$, e l’ambiente più freddo a disposizione ($\sim 300\;\text{K}$, o al più lo spazio a $\sim 3\;\text{K}$) fissa un limite ben inferiore.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Rendimento · Ciclo di Carnot · Secondo principio della termodinamica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica