Problema — Una macchina con rendimento maggiore di 1

Testo

Immagina un dispositivo che produca più lavoro del calore assorbito dalla sorgente calda ($\eta > 1$). Quale legge della termodinamica violerebbe? E se invece $\eta = 1$ esattamente (senza calore ceduto al freddo), quale legge violerebbe?

Soluzione

Definizione. Il rendimento è $\eta = L/Q_c$, con $L$ lavoro prodotto e $Q_c$ calore assorbito dalla sorgente calda.

Caso $\eta > 1$. Significherebbe $L > Q_c$: la macchina produrrebbe più energia (come lavoro) di quanta ne assorbe come calore. Su un ciclo l’energia interna torna al valore iniziale ($\Delta U = 0$), quindi il primo principio impone

$L = Q_c - |Q_f| \le Q_c$

Avere $L > Q_c$ vorrebbe dire creare energia dal nulla: viola il primo principio (conservazione dell’energia). È il classico moto perpetuo di prima specie.

Caso $\eta = 1$. Qui $L = Q_c$ e $|Q_f| = 0$: tutto il calore assorbito diventa lavoro, senza cedere nulla al serbatoio freddo. L’energia è conservata (primo principio salvo), ma un simile dispositivo — che estrae calore da una sola sorgente e lo converte integralmente in lavoro in modo ciclico — viola il secondo principio nell’enunciato di Kelvin. È il moto perpetuo di seconda specie.

$\ev{\eta > 1 \Rightarrow \text{viola il 1° principio}; \quad \eta = 1 \Rightarrow \text{viola il 2° (Kelvin)}}$

Ogni macchina termica reale ha dunque $\eta < 1$ strettamente, ed è ulteriormente limitata dal valore di Carnot $\eta_\text{max} = 1 - T_f/T_c$.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Rendimento · Primo principio della termodinamica · Secondo principio della termodinamica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica