Problema — Carnot a tre serbatoi

Testo

Cosa cambia se una macchina di Carnot può scambiare calore con tre serbatoi a temperature $T_1 > T_2 > T_3$ invece di due? Può avere un rendimento maggiore del Carnot a due serbatoi $T_1$ e $T_3$?

Soluzione

Cosa fissa il limite. Il rendimento massimo di una macchina termica dipende solo dalla temperatura più alta a cui assorbe calore e da quella più bassa a cui lo cede:

$\eta_\text{max} = 1 - \frac{T_\text{fredda}}{T_\text{calda}}$

Il serbatoio intermedio non aiuta. Aggiungere un serbatoio a $T_2$ intermedia non estende questo intervallo: la sorgente più calda resta $T_1$ e la più fredda resta $T_3$. Qualunque scambio con $T_2$ o è ininfluente sul limite, o (se il calore attraversa $T_2$ in due tappe) equivale a mettere in serie due macchine di Carnot. Due Carnot in serie tra $T_1$-$T_2$ e $T_2$-$T_3$ danno esattamente lo stesso limite complessivo:

$\eta_\text{serie} = 1 - \frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{T_3}{T_2} \cdot(\dots) \;\Rightarrow\; 1 - \frac{T_3}{T_1}$

cioè il calore ceduto in fondo è sempre a $T_3$ e quello assorbito in cima sempre a $T_1$.

Conclusione.

$\ev{\eta_\text{max} = 1 - \frac{T_3}{T_1}\ \text{invariato}}$

Il serbatoio intermedio non aumenta il limite di Carnot. Solo allargando l’intervallo — alzando $T_1$ o abbassando $T_3$ — si può superarlo. Ogni ridistribuzione dei serbatoi dentro $[T_3, T_1]$ lascia il tetto teorico dov’era.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Rendimento · Secondo principio della termodinamica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica